1983 yılında Honenems’te dünyaya gelen Klien, Formula 1’deki ilk yarışına 2004 yılında Avustralya’da çıktı.
Formula 1’de mücadele ettiği 5 sezonda HRT, Jaguar ve Red Bull takımları adına 49 yarışa çıkan Avusturyalı pilot 14 puan elde etti.
Mark Webber, Vitantonio Liuzzi, David Coulthard, Scott Speed, Robert Doornbos ve Bruno Senna ile çalışma fırsatı yakalayan Klien, 2010 Abu Dhabi GP’sinin ardından emekli oldu.